Titre : Cours d’algèbre
Auteur : Daniel Perrin
Année : 1996
Éditeur : Ellipses
Collection : CAPES/Agreg Mathématiques
ISBN : 2-7298-5552-1, 978-2-7298-5552-9

Pages : 212
Format : DjVu
DPI : 300
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Cette collection regroupe des ouvrages variés dont le but est de compléter la formation scientifique des candidats aux concours d’Agrégation et de CAPES de Mathématiques, et éventuellement de leur donner une préparation spécifique à une épreuve ou un type d’épreuve.

Ce volume est directement issu du Cours d’Algèbre paru sous forme photocopiée aux presses de l’École Normale Supérieure de Jeunes Filles et connu des candidats à l’agrégation de mathématiques comme « le Perrin ». Il a permis à de très nombreux agrégatifs de compléter leur formation en algèbre, et d’arriver au concours avec des idées claires. Il s’adresse donc avant tout aux candidats à l’agrégation, mais peut être abordé avec profit dès le début du deuxième cycle de l’enseignement supérieur. Il devrait faire partie de la bibliothèque de base de tout enseignant de mathématiques.


Professeur à l’lUFM de Versailles et à l’Université de Paris-Sud (Orsay), Daniel Perrin s’est occupé pendant quinze ans de la préparation des normaliennes et normaliens a l’agrégation de mathématiques, d’abord à l’École Normale Supérieure de jeunes Filles, puis à l’École Normale Supérieure.


=== Sommaire

Introduction
Table des matières
Notations


I. Généralités sur les groupes, groupes finis, groupe symétrique

    0. Rappels
    1. Générateurs d’un groupe
    2. Sous-groupes distingués
    3. Centre et commutateurs
    4. Opération d’un groupe sur un ensemble
    5. Les théorèmes de Sylow
    6. Produits directs et semi-directs
    7. Automorphismes de ℤ/nℤ
    8. Structures des groupes symétrique S_n et alterné A_n

II. Anneaux, propriétés arithmétiques

    0. Rappels
    1. Quelques remarques sur les idéaux
    2. Anneaux noethériens
    3. Propriétés arithmétiques
    4. Stabilité des notions étudiées ; théorème de Gauss
    5. Un exemple d’anneau principal non euclidien
    6. L’anneau ℤ[i] et le théorème des deux carrés

III. Corps, théorie élémentaire

    1. Les techniques vectorielles
    2. Les corps finis
    3. Irréductibilité des polynômes de k[X]
    4. Cyclotomie

IV. Le groupe linéaire

    1. Déterminant et groupe SL(E)
    2. Générateurs et centres de GL(E) et SL(E)
    3. Commutateurs
    4. La simplicité de PSL(n, k)
    5. Le cas des corps finis

V. Formes sesquilinéaires, généralités

    1. Définitions
    2. Formes réflexives
    3. Sous-espaces orthogonaux et isotropes
    4. Groupes unitaire, orthogonal, symplectique
    5. Les similitudes
    6. Bases orthogonales ; classification des formes sesquilinéaires
    7. Caractérisation des similitudes

VI. Le groupe orthogonal euclidien

    1. Notations et rappels
    2. Générateurs et centres de O(q) et O⁺(q)
    3. Conjugaison et commutateurs
    4. La dimension 2 et les angles
    5. Structure des éléments de O(q)
    6. La simplicité du groupe O⁺(3, ℝ)
    7. La simplicité de PO⁺(n, ℝ) pour n ⩾ 5
    8. Les automorphismes de O⁺(3, ℝ)

VII. Quaternions

    1. Définition du corps ℍ
    2. Opération de ℍ sur ℝ³
    3. La structure de O⁺(4, ℝ)
    4. Quelques compléments sur ℍ
    5. Les quaternions généralisés

VIII. Le groupe orthogonal, cas général

    1. Introduction
    2. Plans hyperboliques
    3. Espaces hyperboliques
    4. Le théorème de Witt
    5. Générateurs et centres de O(q) et O⁺(q)
    6. La dimension 2
    7. Le théorème de Cartan-Dieudonné
    8. Le groupe des commutateurs
    9. Compléments

Bibliographie
Index terminologique